Caractérisation d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Propriété

Soit \(a,b\) deux réels tels que \((a;b) \neq (0;0)\).
Soit \(d\) une droite dont un vecteur directeur est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}\).
Un point \(\text M(x;y)\) du plan appartient à la droite \(d\) si et seulement si ses coordonnées \((x;y)\)vérifient une équation de la forme \(\boxed{ax+by+c=0}\), où \(c \in \mathbb{R}\).

Démonstration

Soit \(a,b\) deux réels tels que \((a;b) \neq (0;0)\).
Soit \(d\) une droite dont un vecteur directeur est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}\).
Soit \(\text A(x_A;y_A)\) un point de la droite \(d\) et \(\text M(x;y)\) un point du plan.
On considère les vecteur \(\overrightarrow{\text{AM}}\begin{pmatrix} x-x_A \\ y-y_A \\ \end{pmatrix}\) et  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}\). Ainsi, on a :
\(\begin{array}{rcl}\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AM}} ; \overrightarrow{u} \right) & = & (x-x_A) \times a - (y - y_A) \times (-b) \\& = & a(x-x_A) + b(y-y_A) \\& = & ax + by -ax_A-by_A \\\end{array}\)

Le point \(\text M\) appartient à la droite \(d\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires.
Autrement dit : le point \(\text M\) appartient à la droite \(d\) si et seulement si \(\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AM}}; \overrightarrow{u} \right) = 0\).
On pose \(c=-ax_A -by_A\).
Donc le point \(\text M\) appartient à la droite \(d\) si et seulement si ses coordonnées \((x;y)\) vérifient l'équation \(ax+by +c=0\).